難題94

分野：数IIIC
レベル：難
コメント：微分方程式を使います。

1つの直線上を同一方向に動いている2点P, Qがある.
先行の点Pの速度は定数k (k＞0)に等しいとし,
また後続の点Qの時刻tにおける速度は,
その時刻におけるP, Q間の距離f(t)のλ倍(λ＞0）に
等しいとする.

このとき, Qは決してPに追いつかないことを示しなさい.






















難題93の答え

まず求めるのは
Σ[k=0, n] a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + … +a_{2n}

題意より、
(1+x+x^2)^n=a_0 + a_1x + a_2x^2 +…+ a_{2n}x^{2n}
である
この式にx=1を代入すると
(1+1+1)^n=a_0 + a_1 + a_2 +…+ a_{2n}

またx=-1を代入すると
(1-1+1)^n=a_0 - a_1 + a_2 -…+ a_{2n}

この2式の両辺を加えると、a_{2k-1}が消えるので
3^n+1 = 2[a_0 + a_2 + a_4 + … +a_{2n}]

よって、a_0 + a_2 + a_4 + … +a_{2n}=0.5(1+3^n)

難題93

分野：数IAIIB
レベル：やや難
コメント：面白い問題です

(1+x+x2)^n の展開式におけるx^kの係数をa_kとするとき,
Σ[k=0, n] a_{2k} = 0.5(1+3^n)
であることを示しなさい




















難題92の答え

直線ｍの方程式をｙ=ｐｘ+ｑ（ただし、ｑ≠0）、1次変換ｆを表す行列を
（ａ、ｂ）
（ｃ、ｄ）
とおく。

ｆによる任意の点（ｔ、ｐｔ＋ｑ）の像を点（ｓ、ｐｓ+ｑ）とすると、
ｓ=（ａ+ｂｐ）ｔ+ｂｑ・・・?
ｐｓ+ｑ=（ｃ+ｄｐ）ｔ+ｄｑ・・・?
となることから?を?に代入して、
ｐ（ａ+ｂｐ）ｔ+ｂｐｑ+ｑ=（ｃ+ｄｐ）ｔ+ｄｑ

ここで、ｔは任意ですから、これはｔについての恒等式です。
したがって、
ｃ=ｐａ+ｂｐ＾2-ｄｐ
ｄｑ=ｂｐｑ+ｑ
となる。

ここで、ｑ≠0であることから、
ｄ=ｂｐ+1、ｃ=ａｐ-ｐ・・・?

また、点Ｐ（ｔ、ｐｔ+ｑ）の像が点Ｐ自身であるとすると、
ｔ=（ａ+ｂｐ）ｔ+ｂｑ
∴ａ+ｂｐ=1、ｂｑ=0

したがって、ａ=1、ｂ=0
これらを?に代入して、ｃ=0、ｄ=1となり、ｆを表す行列は単位行列となる。
よってf(P)=Pとなるような原点と異なる点Pがあることがわかる。

難題92

分野：数IIIC
レベル：やや難

座標平面上の1次変換fが原点を通らないある直線mを
m自身に移しているならば, f(P)=Pとなるような原点と異なる点P
があることを示しなさい.

コメント：東大の一次変換(1982年)に繋がる問題です。
この問題を解いたことがあれば、1982年の東大の一次変換も解けた
のではないかと予想されます。



















難題91の答え

u=v=w=0 ではない値の組(u､v､w)があるとする｡
すなわち u､v､w が同時には 0 ではない値の組があるとすると､そのうち u≠0 として一般性を失わないから､
vec(OA) = -(v/u)vec(OB) - (w/u)vec(OC)
つまり､ ベクトルOA は ベクトルOB と ベクトルOC の作る平面の上になければならない｡
従って、原点O は三角形の決定する平面上にあることになり､前提条件と矛盾する。
よって u=v=w=0 でなければならない｡

難題91（ゆぅじじさんから・・・）

分野：数IAIIB
レベル：標準

空間に3角形ABCがあるとし, 空間の原点Oは,
この三角形が決定する平面上にはないとする.

実数 u, v, w が等式
u×vec(OA) + v×vec(OB) + w×vec(OC) = vec(0)
を満たすならば, u=v=w=0であることを示しなさい.

コメント：当たり前の中に盲点があります。（京都大学／1984年）


























難題90の答え

f(x) = x + (1／x) （x≧1）

y = f(x) とおくと、

y = x + (1／x)
- x + y = 1／x
- x^2 + y x = 1
x^2 - y x = - 1
x^2 - 2 (y／2) x + (y／2)^2 = (y／2)^2 - 1
(x - y／2)^2 = (y／2)^2 - 1
x≧1 より x - y／2≧0 だから、
（∵x - y／2 = x - (x + (1／x))／2 = (x^2 - 1)／(2x)）
x - y／2 = √((y／2)^2 - 1)
x = y／2 + √((y／2)^2 - 1)
x = (y + √(y^2 - 4))／2
y = f(x) とおいたのだから、g(y) = g(f(x))) = x なので、
g(y) = (y + √(y^2 - 4))／2
したがって、関数 g は
g(x) = (x + √(x^2 - 4))／2
と定義できる。

難題90

分野：数IIIC
レベル：やや易

x≧1で定義された関数f(x)=x+(1/x)の逆関数 g(x) を求めなさい.



















難題89の答え

f(x)=x∫[0→x]{2^t*(2^t-3)}dt-∫[0→x]{t*2^t*(2^t-3)}dt
f'(x)=∫[0→x]{2^t*(2^t-3)}dt+x*(2^x)*(2^x-3)-x*(2^x)*(2^x-3)
=∫[0→x]{2^t*(2^t-3)}dt
=∫[0→x](2^2t-3*2^t)dt
=[(1/2log2)*2^2t-(3/log2)*2^t][0→x]
=(1/2log2)*2^2x-(3/log2)*2^x+5/2log2
=(1/2log2)*(2^2x-6*2^x+5)
=(1/2log2)*(2^x-5)(2^x-1)
f'(x)=0のとき,2^x=1,5,すなわち,x=0,log[2]5
x≧0におけるf(x)の増減表は,次のようになる.


__x__|__0__|__|log[2]5|__
f'(x)|__0__|−|___0___|＋
f(x)_|_____|\|_______|／


よって,x=log[2]5のとき最小となる.