難題45
平面上において, A, Bを2定点とする. 点Pが
∠APB=α（一定）となるように動くとき, AP+BPの
最大値をαと線分ABの長さmとを用いて表せ.
ヒント；実物を作るのが早いかと・・・。
難題44の答え
ｋ＞２
難題44
k＞0 とする. xy平面上の2曲線
y=k(x-x^3), x=k(y-y^3)
が第1象限にα≠βなる交点(α,β)をもつようなkの範囲を求めよ.
コメント；東大89年のものです。
難題43の答え
2/3√79
難題43
球面 x^2 +y^2 +z^2 -6x -2y-6=0 がある. この球面によって
直線2x=y=-z から切り取られる線分の長さを求めなさい.
現行課程外ですので少しマニアックものです・・・。
難題42の答え
? -(1/p^2+p+1)A-(p+1/p^2+p+1)E
? 4A/21+5E/21
難題42
Aは2次の正方行列で, A^2 +A+E=Oを満たしている.
(1) pを実数とするとき, (A-pE) の逆行列をAを用いて表せ.
(2) (A^2 -3A+2E)の逆行列をAを用いて表せ.
コメント；香川医科大学82年のものです。
難題41の答え
2│a+b│/a^2+b^2
難題41
楕円 (x/a)^2 +(y/b)^2=1 上の点Pにおける接線mと,
原点Oを通りmと直交する直線m'との交点をQとする.
θ＝∠POQとするとき, cosθの最小値を求めよ.
コメント；京大88年のものです
難題40の答え
22/225
難題39
a/(b+3) の整数部分の桁数と, 一の位の数字を求めなさい.
ただし, 3^(21)= 10460353203 を用いてよい.
コメント；東大入試89年のものです・・・。
白紙回答多数かと・・・。
難題38の答え
0.095
難題37
(sin x) + (sin y) =1, (cos x)(cos y) = 3/4 のとき,
sin {(x+y)/2} を求めよ.
ヒント:和積公式？ 積和公式？
難題36の答え
最大値 3の立方根
最小値 1
難題36
関数f(n)=n^(1/n) (n=1,2,3,……) の最大値と最小値を求めよ.
ヒント：指数と底に変数があるときは○○をとる
難題35の答え
f(x) = x^2-2x + 2
難題35
x^2-x+1=0 の2つの解をα, βとするとき,
f(α)=β, f(β)=α, f(1)=1
をみたす2次式f(x)を求めよ.
難題34の答え
x/1=y/-1=z/2
or
x/1=y/2=z/-1
難題34
直線 (x-3)=2(y-3)=2z をgとする. 原点を通り, gと交わり,
その交角が60°となる直線の方程式を求めなさい.
現行課程向き
直線 (x,y,z) = (3,3,0) + t(2, 1, 1)をgとする.
原点を通り, gと交わり, その交角が60°となる直線の
ベクトル方程式を求めなさい.
難題33の答え
f(x) =-6x^3+9x^2-3x + 1
難題33
次の条件を同時に満たす3次関数y=f(x)を求めなさい.
1) f(0)=1
2) f'(0)=f'(1)=-3
3) 極大値と極小値が存在して,
それらの差が極値をとるxの値の差の絶対値に等しい
ヒント：
平均値の定理を使うと・・・。
難題32の答え
α≧1/2
難題31
曲線 y= 1/(x^2+1) の接線がx軸と交わるとき, その交点をPとする.
原点とPとの距離の最小値を求めなさい.
難題30の答え
(1) k*(nCk)=n*(n-1Ck-1)を利用します。
(2) n(n+1)*2^n-2
難題30
(1) Σ[k=1, n] k(nCk) =n・2^{n-1}となることを証明しなさい.
(2) Σ[k=1, n] k^2(nCk) をnを用いて表しなさい.
難題29の答え
(1)y=1/4
(2)4/3(a^2+1/4)^3/2
難題29
放物線上 y=x^2 上の2点P, Q における接線が
点A(a, b)で直交している.
(1) 点Aの軌跡の方程式を求めなさい.
(2) 線分PQと放物線とで囲まれた線分の面積を点Aの座標を用いて表しなさい.
難題28の答え
2{√(2ab/a+b)}
