分野：数IAIIB
レベル：易
θがすべての実数にわたるとき,
f(θ) = (√2)(cosθ - sinθ)
の最大値と最小値を求めなさい
コメント：合成をベクトルの内積で解く手法は時代遅れですかねぇ。。。
難題73の答え
f(x)=1+kx^2で頂点が（0,1）の放物線とg(x)=cosx を考える。
f(x)≦g(x)となるには明らかにf(x)は上に凸の放物線でkは負の値をとる。
また(x,y)=(0,1)で共有点を持ちかつその点での傾きは0で共通である。
f(x)≦g(x)を満足するためには、x=0から少し正の方へ移動した段階で
f(x)の接線勾配の方がg(x)の勾配より小さければならない。
よってf(x)の0に限りなく近い座標x=m（正の値）の時の接線勾配aは
a=2km。
g(x)の0に限りなく近い座標x=m（正の値）の時の接線勾配bは
b=-sin(m)。
このときa<bとなる必要があるので
2km≦-sin(m)
sin(m)+2km≦0
m(sin(m) /m +2k)≦0
mは微小で正の値なので
m(1+2k)≦0よりｋ≦-1/2
分野：数IIIC
レベル：やや難
任意の実数 x に対して, 不等式
1+kx^2≦cos x
が成り立つような定数 k の値を求めなさい.
コメント：「微分のことは微分でやれ」高木貞治先生の箴言です
難題72の答え
（１）群数列で考えると、
第１群はａ、1
第２群はa²、a、１
第３群はa³、a²、a、１
・・・・・
よって、a＾61は、第61群の初項なので、
（第60群までの項数）＋1、すなわち、
（2＋3＋4＋・・・＋61）＋1＝61・（61＋1）/2＝1891番目。
（２）第ｎ群までの項数は
2＋3＋4＋・・・＋（n+1）＝ｎ（ｎ+3）/2
ｎ＝27のとき、この値は405となることから、
第405項までの和とは、すなわち、
第27群までの総和となる。
このとき第ｎ群の各項の和は、
a＾ｎ＋a＾(n+1)＋・・・・＋a＋１、
a＞1で、初項１、公比a、項数（n+1）なので、
＝｛a＾（n+1)−1｝/（a−1）・・・?
よって、?のｎ＝1からｎ＝27までの総和が、求める和となる。
Σ［ｎ＝１〜２７］｛ａ＾(ｎ＋１)−１｝／(ａ−１)
＝１／(ａ−１)Σ［ｎ＝１〜２７］｛ａ＾(ｎ＋１)−１｝
＝１／(ａ−１)〔Σ［ｎ＝１〜２７］｛ａ＾(ｎ＋１)｝−Σ［ｎ＝１〜２７］１〕
＝１／(ａ−１)｛(ａ＾２＋ａ＾３＋・・・＋ａ＾２８)−２７｝
＝１／(ａ−１)｛ａ＾２(ａ＾２７−１)／(ａ−１)−２７｝
＝１／(ａ−１)｛(ａ＾２９−ａ＾２)／(ａ−１)−２７｝
分野：数IAIIB
レベル：標準
数列 a, 1, a^2, a, 1, a^3, a^2, a, 1, ……
がある. ただし a＞1とする.
(1) 最初に出てくるa^{61}は第何項か.
(2) 第405項までの和を求めなさい.
コメント：いわゆる群数列です
難題71の答え
どこかの家で帽子を忘れという事象をE
家Bで忘れるという事象をFとする。
Eの余事象は、帽子を忘れない確率で、(4/5)^3=64/125
よって、Eの起こる確率はP(E)=1-64/125=61/125
（別解としては、P(E)=1/5+(4/5)*(1/5)+(4/5)*(4/5)*(1/5)=61/125）
E∩Fは、家Aで忘れず、家Bで忘れるので、その確率は、
P(E∩F)=(4/5)*(1/5)=4/25
よって、
P(F|E)=P(E∩F)/P(E)=(4/25)/(61/125)=20/61
分野：数IIIC
レベル：標準
5回に1回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が
正月にA, B, C3軒を順に年始回りをして家に帰ったとき,
帽子を忘れてきたことに気がついた.
2番目の家Bに忘れてきた確率を求めなさい.
コメント：現行課程では数Cの分野になりますが、条件付確率の中では超有名問題です。
難題７０の答え
y=x²/2 … ?
を微分して
y'=x … ?
P(p,p²/2)における接線の傾きはpなので
接線の方程式は
y=px-p²/2 … ?
これと直交する直線の傾きは-1/pであり、
その傾きを持つ接線は?より、x=-1/pで接する。
つまりQの座標はQ(-1/p,1/2p²)
Qにおける接線は
y=-x/p-p²/2 … ?
??より、接線の交点のx座標は
px-p²/2=-x/p-1/2p²
x=1/2(p-1/p)
求める面積は、-1/pから1/2(p-1/p)の区間では?ー?を、
1/2(p-1/p)からpの区間では?ー?をそれぞれ積分して求められます。
∫[-1/p〜1/2(p-1/p)](x²/2+x/p+1/2p²)dx+∫[1/2(p-1/p)〜p](x²/2-px+p²/2)dx
=p³/24+p/8+1/8p+1/24p³
=1/24(p³+3p+3/p+1/p³)
=1/24(p+1/p)³
分野：数IAIIB
レベル：標準
放物線 y=(x^2)/2 上の2点P, Qにおける接線が直交している.
Pのx座標をpとし, p＞0とするとき,
2つの接線と放物線とで囲まれた図形の面積をpで表しなさい.
コメント：文字の処理に注意しましょう。
難題69の答え
結構複雑ですしたねぇ・・・。
この関数は、中心の座標が(０，１)、半径の長さが２の円であり、
ｘ軸との交点の座標は(√３，０)、(−√３，０)である。
そして・・・ｙ軸について対称。
まずｘ軸を回転軸にするから、関数を”ｙ＾2＝・・・”の形に変形しておく必要がある。
よってｘ軸との交点が円の”直径”になってはいけないので、
関数を以下のように”場合わけ”しておく必要がある。
”−√３≦ｘ≦√３”の時、
(ｙ−１)＾2＝４−ｘ＾2
∴ｙ＝√(４−ｘ＾2)＋１
ｙ＾2＝{√(４−ｘ＾2)＋１}＾2
＝(４−ｘ＾2)＋１＋２√(４−ｘ＾2)
＝(５−ｘ＾2)＋２√(４−ｘ＾2)
これをこのまま積分。
”−２≦ｘ＜−√３、√３＜ｘ≦２”の時、
(ｙ−１)＾2＝４−ｘ＾2
∴ｙ＝−√(４−ｘ＾2)＋１
ｙ＾2＝{−√(４−ｘ＾2)＋１}＾2
＝(４−ｘ＾2)＋１−２√(４−ｘ＾2)
＝(５−ｘ＾2)−２√(４−ｘ＾2)
よって、ｙ＾2＝(５−ｘ＾2)＋２√(４−ｘ＾2)から、
ｙ＾2＝(５−ｘ＾2)−２√(４−ｘ＾2)を引いた関数が積分対象になる。
ｘ＝２ｓｉｎθ(０≦θ≦π／２)とおくと（以下、積分記号を省略。）
ｄｘ＝２ｃｏｓθ・ｄθ
√(４−ｘ＾2)ｄｘ＝√{４−(２ｓｉｎθ)＾2}
＝２√{１−(ｓｉｎθ)＾2}
＝２・ｃｏｓθ・(２ｃｏｓθ・ｄθ)
＝４・(ｃｏｓθ)＾2・ｄθ
＝４・{(ｃｏｓ２θ＋１)／２}・ｄθ
＝２(ｃｏｓ２θ＋１)・ｄθ
これを積分すると。（積分定数を省略します。）
２{(ｓｉｎ２θ／２)＋θ}＝ｓｉｎ２θ＋２θとなる。
また、このとき積分区間が変わり、
ｘ＝０の時、２ｓｉｎθ＝０ → θ＝０
ｘ＝√３の時、２ｓｉｎθ＝√３ → θ＝π／３
ｘ＝２の時、２ｓｉｎθ＝２ → θ＝π／２
体積をＶとすると、
Ｖ＝2π∫【x=0→√3】{(5−x^2)+2√(4-x^2)}dx+2π∫【x=√3→2】{4√(4-x^2)}dx
＝2π∫【x=0→√3】(5-x^2)dx+8π∫【θ=0→π/3】(cos2θ+1)dθ+16π∫【θ＝π/3→π/2】(cos2θ+1)dθ
＝(８√３)・π＋(２√３)・π＋(８π＾2／３)＋８π＾2−(４√３)・π−(１６π＾2／３)
＝(１６π＾2／３)＋(６√３)・π
途中から理解できてない気がするなぁ。。。
分野：数IIIC
レベル：標準
x^2 +(y-1)^2 =4 なる曲線のx軸より上の部分を
x軸の回りに回転してできる回転体の体積を求めなさい。
コメント：回転体はπを忘れるとアウトです
難題68の答え
|y|=5-x^2
なので、
y≧0のときはy=5-x^2
y<0のときは-y=5-x^2つまりy=-5+x^2
y=3x+5との交点の１つはy=5-x^2との交点で(0,5)
もう1点はy=-5+x^2との交点なので
x^2-5=3x+5
x^2-3x-10=0
(x-5)(x+2)=0
x=5,x=-2
x=5は不適なので
x=-2
交点は(-2,-1)
(0,5)と(-2,-1)の距離を求めると
2√10
分野：数IAIIB
レベル：やや易
直線 y=3x+5 が曲線 |y|=5-x^2 によって切り取られる
線分の長さはいくらか.
コメント：作問者が困ったときにはとりあえず絶対値ですね・・・
難題67の答え
今回自信がないので間違っていたらご指摘のほどよろしくお願いします・・・。
ほんとすいません。。。
y1 =√2(sin x)+1
y2 =√(cos 2x +1) = √2(cos x)とすると、
x = π/2 で左右対称となることから積分範囲(0≦x≦π/2)で２倍する。
y2 = √2(cos x) = √2(sin x)+1 = y1 を求める。
√2(sin x) - √2(cos x) = -1
2sin(x - π/4) = -1
x - π/4 = -π/6
x = π/12
s1 =∫(0≦x≦π/12)(√2((cos x) -(sin x)) -1)dx
=√2(sin(π/12) + cos(π/12) - 1) - π/12
s2=∫(π/12≦x≦π/2)(√2((sin x) - (cos x)) +1)dx
=-√2(-cos(π/12) + 1 - sin(π/12)) + 5π/12
s=s1 + s2なので上記より
= 2√2(sin(π/12) + cos(π/12) - 1) + 4π/12
sin(π/12) = √((1 - cos(π/6))/2) = √((2 - √(3))/4) = (√3 - 1)/(2√(2))
cos(π/12) = √((1 + cos(π/6))/2) = √((2 + √(3))/4) = (√3 + 1)/(2√(2))
s = 2√3 - 2√(2) + 4π/12
∴2s = 4√(3) - 4√(2) + 2π/3
？？？
正直合ってるか分らない。。。
途中、というか最初から暗中模索です。。
藁にもすがる思いで（？）回答にたどりついたブロ主でした。。。
分野：数IIIC
レベル：標準
曲線y=√2(sin x)+1と, 曲線y=√(cos 2x +1) (0≦x≦π)
とx軸とで囲まれた図形の面積を求めよ
コメント：如何にも傍用問題集の章末問題に出てきそうな問題です。
難題66の答え
(1) a<bとb<cを辺辺足して、a+b<2c
両辺cで割って (a+b)/c＜2
dを商として、a+b=dc+1とおけるから（dは自然数)、(dc+1)/c＜２
d+(1/c)＜2
d＜2-(1/c) c>0のときこれを満たす自然数dはd=1しかない。よってa+bをcで割った商dは1…答
(2)(1)からa+b=c+1 c=a+b-1これを用いて文字cを消去する。
『a+cはbで割ると1余り、b+cはaで割ると１余る』
→『a+c-1はbで割り切れ、b+c-1はaで割り切れる』
→『2a+b-2はbで割り切れ、a+2b-2はaで割り切れる』
いま、2a+b-2=eb…（あ） (eは自然数)とおく。(2a+b-2)/b=e
ここでe≧３と仮定すると、 (2a+b-2)/b≧3
2a+b-2≧3b
2a-2b-2≧0
ところが、a-b<0より上の式左辺は常に0未満であるから矛盾である。よってe=1or2である。
e=1のとき（あ）より 2a-2=0 ∴a=1, ところがc=a+b-1であったからこれにa=1を代入するとc=bとなりb<cに反する。以上からe=2に限られるから、a+cをbで割った商eは２である…答
(3) a+b=c+1 かつ a+c=2b+1 から c=3b/2 かつ a=(b+2)/2
cとaは自然数でなくてはならないので,bは偶数である。
いま、b+c-1がaで割り切れる→b+3b/2-1が(b+2)/2で割り切れる→（5b-2)/2は(b+2)/2で割り切れる→(5b-2)/(b+2)は整数→5-12/(b+2)は整数→b+2=±1,±2,±3,±4,±6,±12
このうちbが正の偶数になるものはb=2,4,10 このとき (a,c)=(2,3),(3,6),(6,15)最初の組はa=b=2となりa<bを満たさないので不適
∴(a,b,c)=(3,4,6),(6,10,15)…答
分野：数IAIIB
レベル：やや難
相異なる自然数a, b, cがあり,
どの2つの和も残りの数で割ると1余るとする.
a＜b＜c として次の問に答えなさい.
(1) a+b を c で割ったときの商はいくらか.
(2) a+c を b で割ったときの商はいくらか.
(3) a, b, c を求めなさい.
コメント：整数問題はとっかかりを見つけるが難しいですね
難題65の答え
x = 0 で
y = 1/2
y = -5/2
で距離は3
問題に垂直な直線の1つは
y = 2x、x = 1 と３角形を作る。
ここで辺の比は１：２：√５となることから、
∴直線同士の距離は6/√5
なので有理化すると、6√5/5
分野：数IAIIB
レベル：易
平行な2直線 x+2y+5=0, x+2y-1=0 の間の距離を求めなさい.
コメント：直線間の距離≠y切片間の距離
難題64の答え
(sin y) + (xcos y) =1
cos(y) で割る
tan(y) + x = 1/cos(y) = ROOT(1 + tan^2(y))
１+tan^2(y) = 1 / cos^2(y) を使う。↑
両辺を２乗して、整理
tan(y) = (1 - x^2) / 2x
これに2≦x≦3を代入すると
-4/3≦tany≦-3/4
分野：数IAIIB
レベル：標準
x, yは (sin y) + (xcos y) =1 を満たし,
いまxが2≦x≦3の範囲で変化するとき,
(tan y) の取り得る範囲を求めなさい.
コメント：視覚化して考えましょう。
難題63の答え
直線PQの方程式は,tx+(1-t)y-t(1-t)=0
直線上で,x座標がk(0<k≦1)となる点のy座標は,t-kt/(1-t) (t≠1)
f(t)=t-kt/(1-t)とおくと,
f'(t)=1-k/(1-t)^2
f'(t)=0とすると,0≦t<1ではt=1-√k
(0≦t<1の範囲で増減表を書く.)
f(t)はt=1-√kのとき最大値k-2√k+1をとる.
また,k=0のとき明らかにt=1でy座標は最大値1をとるので,このときも合わせて考える.
面積は,∫[0→1](k-2√k+1)dk=[(1/2)*k^2-(4/3)*k^(3/2)+k][0→1]=1/6
分野：数IIIC
レベル：難
座標平面上に2点P(0, t), Q(1-t, 0)がある.
tが0から1まで動くとき, 線分PQが通過する範囲をSとする.
Sの面積を求めなさい.
コメント：積分に工夫の一手がほしいところです。
難題62の答え
acosA=bcosB・・・?
余弦定理より
cosA=(b^2+c^2-b^2)/(2bc)
cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)
これを?に代入して整理すると
b^2c^2-b^4=c^2a^2-a^4
c^2(b^2-a^2)+a^4-b^4=0
c^2(b^2-a^2)+(a^2+b^2)(a^2-b^2)=0
(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0
∴a^2=b^2・・・?またはa^2+b^2=c^2・・・?
?のときはa>0,b>0だから
a=bを示しているから
BC=CAである二等辺三角形
?のときは
BC^2＋CA^2=AB^2となって
三平方の定理から
ABを斜辺とし、角ACB=90°である直角三角形
分野：数IAIIB
レベル：易
acosA=bcosB が成り立つような△ABCはどのような三角形か.
ただしBC=a, CA=b, AB=c とする.
コメント：この手の問題は全て長さに直すのがポイント
難題61の答え
2次式f(x)を
f(x)=px^2+qx+rとおいて
2点 (0, -1), (1, a^2-a)を通る。
f'(0)=1-a をみたす。
の条件からp,q,rを決定すると、
f(x)=a^2x^2+(1-a)x-1
とわかる。
f(x)-(x-1)=a^2x^2-ax
だから、
∫[0, 1] {f(x)-(x-1)}^2 dx
=∫[0, 1] (a^2x^2-ax)^2 dx
=a^2∫[0, 1] x^2(ax-1)^2 dx
を計算すると、
=a^4/5-a^3/2+a^2/3
g(a)=a^4/5-a^3/2+a^2/3
とすると、
g'(a)=a{(4/5)a^2-(3/2)a+2/3}
g'(a)=0 とすると、
a=0,(45+√105)/48
g(a)を極小にするaの値は、
a=(45+√105)/48
分野：数IAIIB
レベル：難
2点 (0, -1), (1, a^2-a)を通り,
f'(0)=1-a をみたす2次式f(x)に対して,
∫[0, 1] {f(x)-(x-1)}^2 dx
を極小にするaの値を求めなさい.
コメント：まもとに計算する他ありません。
難題60の答え
円と放物線の交点は
x＾2+(x^2-1/4)^2=1
x^2=t>0 とおけば
t+(t-1/4)^2=1
(4t-3)(4t+5)=0
t=3/4
x=±√3/2
第1象限の交点A第2象限の交点をBとすると
交点Aは、原点を通り、x軸となす角が30°の直線上。
交点Bは、原点を通り、x軸負の方向となす角が30°の直線上。
したがって、2つの交点と中心でできる扇形のうち上側の面積S1は
中心角が120°だから
S1=π/3
?OABの面積S2は S2=√3/4
線分ABと放物線で囲まれた部分の面積S3は
S3=１/6(√3/2-(-√3/2)＾3＝√3/2
S=S1-S2+S3=π/3-√3/4+√3/2=π/3+√3/4
=（４π+3√3）/12
分野：数IIIC
レベル：標準
次の2つの不等式を同時に満たすような領域の面積を求めなさい.
x^2+y^2≦1, y≧x^2-(1/4)
コメント：対称性を利用しましょう。
難題59の答え
x､y､z は三次方程式
f(X) = X^3 - X^2 + X/4 - xyz = 0
の解であるとして､ -xyz の値の範囲を解の存在条件として求める。
まず､x=y=z となる３重解にはならないことは､条件式からわかる｡
そこで､f(X)=0の解の個数は合い異なる３実解、もしくは重解を含む２実解であるとする｡
f(X)は三次関数なので､極大と極小の両方をもち
極大値が0以上､極小値が0以下であれば f(X)=0 が３解または２解を持つ。
よってf(X) を微分して
f'(X) = 3X^2 - 2X + 1/4
= 3(X-1/2)(X-1/6)
となることから､ X=1/6 で極大になり、X=1/2 で極小になることがわかる。
あとは f(1/6) ≧ 0､ f(1/2) ≦ 0 を計算すればよいが､計算を省力化するために f(X) を変形。
f(X) を f'(X) で割り算しても良いが､この場合は変形するだけで充分。
よって
f(X) = X(3X^2 - 2X + 1/4) - 2X^2(X - 1/2) - xyz
= Xf'(X) - 2X^2(X - 1/2) - xyz
これから簡単に
f(1/6) = -(2/36)(1/6-1/2) - xyz = 1/54 - xyz
f(1/2) = -xyz
よって
t=1/6のときa=xyzの最大値は1/54をとり、
t=0, 1/2のときに最小値0をとる。
∴0≦ｘｙｚ≦1/54
分野：数IAIIB
レベル：標準
実数x, y ,z が x+y+z=1, xy+yz+zx= (1/4) を満たすとき,
xyzのとりうる値の範囲を求めなさい.
コメント：定数分離法に持ち込みたいところですが・・・
難題58の答え
0＜a＜2の条件より、関数:y=f(x)=x^3-3x+a は f(0)＞0
また f'(x)=3(x+1)(x-1)より x=1で極小値:a-2＜0 を取るから 0＜x＜1でx軸と交わる。
よって方程式：x^3-3x+a=0 の解の1つをα(0＜α＜1)と置けば a=3α-α^3 の関係から、
与式=∫[x=0〜α](x^3-3x+a)dx-∫[x=α〜1](x^3-3x+a)d
=-(3/2)α^4+α^3+3α^2-3α+(5/4)
=g(α) と置くと、
g'(α)=-3(2α^3-α^2-2α+1)
=-3(α+1)(α-1)(2α-1)
=0 より、
α=1/2 のとき最小値をとるから a=3α-α^3=11/8
分野：数IAIIB
レベル：標準
実数 a が区間 0＜a＜2 を動くとき, 定積分
∫[0→1] |x^3-3x+a| dx
を最小にする a を求めなさい.
コメント：いわゆる「はみだしけずり法」で解けます。
難題57の答え
(1)
横軸をa、縦軸をbとしてb=f(a)のグラフを考える
f(a)=(2-a^3)^1/3
f'(a)=-a^2(2-a^3)^-2/3<0
f''(a)=-2a(2-a^3)^-2/3-2a^4(2-a^3)-5/3<0
よりグラフは上に凸で右下がりの曲線なので、
直線b=S-aを考える。S=a+bである
つまりb=(2-a^3)^1/3とb=S-aが接するときSはa+bの最大値である
よって2-a^3=(S-a)の解が重解になればよい
このようなSが2であり、このとき
a^2-2a+1=0となることから
a=1
最大値は２
グラフは上に凸なのでSが最小になるのはグラフでみてa=2^1/3のときである
（b=S-aがa切片、b切片を通る）
このときS=2^1/3
a>0,b>0より2^1/3<a+b<=2
(2)
横軸a^2、縦軸b^2としてb=f(a^2)=(2-a^3)^2/3のグラフを考える
a^2=x,b^2=yとするとy=f(x)=(2-x^3/2)^2/3
a>0,b>0よりx>0,y>0
(1)と同様に微分するとグラフの形は上に凸の右下がり
直線y=T-xとの交点を考えて
(T=a^2+b^2=x^2+y^2)
y=f(x)とy=T-xが接するようなTを考える
（式から求められそうにないので）
グラフの対称性とその形よりx=yのとき接する
このときx=y=1,T=2
最大値は２
分野：数IIIC
レベル：やや難
正の数a, bがa^3+b^3=2 を満たすとき,
(1) a+b の範囲を求めなさい.
(2) a^2+b^2の最大値を求めなさい.
コメント：(1)は文系でも解けます.
難題56の答え
正ｎ角形は、円の中心に頂点のあるｎ個の二等辺三角形になり、
この二等辺三角形は、二つの直角三角形となる。
この直角三角形は、２ｎ個あるので、頂点の角度は
θ＝（２π／２ｎ）＝π／ｎである。
あとは、ある一辺の長さが１ですが、内接と外接で
どの一辺の長さが１なのか分かります。
外周の長さは、上記のθを用いて、
内接の場合、ｋ＝２ｎ×ｓｉｎθ
外接の場合、Ｌ＝２ｎ×ｔａｎθ
面積は、内接の場合、１つの直角三角形の面積が
（ｓｉｎθｃｏｓθ）／２、になるので、ｓ＝ｎ×ｓｉｎθｃｏｓθ
外接の場合、（ｔａｎθ）／２、なので、Ｓ＝ｎ×ｔａｎθ
分野：数IAIIB
レベル：標準
半径1の円に内接する正n角形の周の長さkと面積sを求めよ.
また, 半径1の円に外接する正n角形の周の長さLと面積Sを求めよ.
コメント：円に外接する正多角形の周長は苦手な人が多いですよねｗ。
難題55の答え
x^2+y^2-4x-6y+a=0
(x-2)^2+(y-3)^2-13+a=0
(x-2)^2+(y-3)^2=13-a 中心(2,3)、半径√(13-a)
一方の接線f(x)と円の接点をP、円の中心をQとすると、
△OPQは∠POQ=45°∠OPQ＝90°の直角二等辺三角形となる。
∴OQ:PQ=√2:1
OQ^2:PQ^2=2:1
(4+9):(13-a)=2:1
26-2a=13
a=13/2
分野：数IAIIB
レベル：やや易
原点を通り互いに直交する2直線があり,
ともに円：x^2+y^2-4x-6y+a=0
の接線になるとする.
このとき定数aの値を求めよ.
コメント：円の2接線が直交→あの図形ですね。
難題54の答え
(1+2+3+‥+n)^2
=1^2+2^2+3^2+‥+n^2+2*(異なる2数の積の和)より
(1/2)*{(Σ[k=1〜n]k)^2-Σ[k=1〜n]k^2}
=(1/24)*(n-1)n(n+1)(3n+2)
難題について・・・。
?1日約1問とします。
?解法および解は次の日の難題の最後に掲載いたします
?答えが分かった方は当方まで内緒でお願いします。
?大変申し訳ありませんが難題51までは問題および解のみとなっております。
(後日解法を乗せていく予定です。）
よろしくお願いします。
自然数 1, 2, 3, ……, n の中から
異なる2個をとってつくった積の総和を求めなさい.
コメント；どう工夫するかが問題ですね。
難題53の答え
a; b は正なので相加相乗平均よりa + b = 1 ≧ 2√abであり、
等号成立はa = b =1/2のときであるから、
両辺2 乗して整理するとab≦1/4
この両辺に底2 の対数をとってlog2 ab≦-2
前回難問でしたので今回は易しめで・・・
a＞0, b＞0でa+b=1のとき,
(log a) +(log b) の最大値を求めなさい.
ただし対数の底は2とする.
難題52の答え
∫[0 π] e^x (sin x)^2 dx
=∫[0 π]e^x(1-cos2x)/2dx
=1/2∫[0,π]e^x(1-cos2x)dx
=1/2{[e^x](0からπ)-∫{0からπ}e^xcos(2x)dx}
=1/2{e^π-1-∫{0からπ}e^xcos(2x)dx}
=1/2{e^π-1-I}とすると、(I=∫{0からπ}e^xcos(2x)dxとおく。)
I=∫{0からπ}e^xcos(2x)dx
=[e^xcos(2x)dx](0からπ)+2∫e^xsin(2x)dx
=e^π-1+2{[e^xsin(2x)](0からπ)-2∫{0からπ}e^xcos(2x)dx}
=e^π-1-4Iなので、
5I=e^π-1
I={e^π-1}/5なので、
(与式)=1/2{e^π-1-{e^π-1}/5}
={2(e^π-1)}/5
ここで、
e^π
>{2.71}^{3.14}
>{2.71}^{3.1}
2.71^{3+0.1}
={2.71^3}*{2.71^{0.1}}
>19.9*(2.71)^{1/10}
>19.9*1.1 ((1.1)^10=2.59…<2.71…より。)
=21.89
>20となることから、
(与式)>{2*20}/5=8となる。
∴∫[0 π] e^x(sin x)^2 dx>8。
これからの問題についてできる限り解法も載せていきたいと思います。
参考までにどうぞ・・・。
というわけで今回の問題・・・。
東大99年ものです・・・。
容赦ないですね・・・。
∫[0 π] e^x (sin x)^2 dx ＞ 8 を示しなさい.
ただしπ=3.14...は円周率, e=2.71...は自然対数の底である.
難題51の答え
a[n]=S[n]-S[n-1]であるから、
これを問題文中の漸化式の右辺にし、任意のn≧2において、
(√S[n-1])+(√S[n])＝S[n]-S[n-1]
(√S[n-1])+(√S[n])＝{(√S[n])+(√S[n-1])}{(√S[n])-(√S[n-1])}
問題文中の漸化式より明らかにn≧2でa[n]≧0であり、またa[1]＝1なので任意のn≧1でS[n]＞0である。よって(√S[n])+(√S[n-1])＞0なので上式の両辺を(√S[n])+(√S[n-1])で割ることができ、
任意のn≧2において、
(√S[n])-(√S[n-1])＝1
(√S[n])-n＝(√S[n-1])-(n-1)
(√S[n])-n＝(√S[n-1])-(n-1)＝･･･＝S[1]-1＝0
よって、任意のn≧1において、
S[n]＝n^2
a[n]＝S[n]-S[n-1]＝n^2-(n-1)^2=2n-1
数列｛a_n｝の初項 a_1 から第n項までの和を S_n とする.
a_1 =1, √(S_{n-1}) +√(S_{n}) =a_n (n≧2)
のとき, a_n を n を用いて表しなさい.
コメント：誘導の小問がほしいところですね・・・。
難題50の答え（証明）
一次関数y = ax + b はx = 0 のときy = b であるから、y 軸上の点(0, b) を通る.
この点をA とおく.
また, 一次関数y = ax + b はx = p のときy = ap + b であるから, (p, ap + b) を通る.
この点をP とおく. ただしp は0 でない任意の実数とする.
1) a = 0 のとき
p の値にかかわらずP はx 軸に平行な直線y = b 上にある. p は0 でない任意の実
数値をとるから, 点P を表す集合と点A を表す集合との和集合はx 軸に平行な直線
y = b 全体の集合となる.
2) a ≠ 0 のとき
P からx 軸に下ろした垂線をPQ とし,
A を通ってx 軸に平行な直線とPQ との交点をR とすると,
PR = ｜ap｜ AR = ｜p｜
と表せる. このとき,
RP/AR=｜a｜
となり, p の値にかかわらず一定である. したがって∠ARP = 90° の直角三角形ARP
はp の値が変化してP が移動してもAR : RP の比は常に一定であり, かつ∠ARP は
常に90° であるから, 全て相似な三角形となる. (∵二辺比夾角相等)
以上より, P は点A を通ってx 軸と大きさが一定の角をなす定直線の上にある. さら
に, p は0 でない任意の実数値をとるから, 点P を表す集合と点A を表す集合との和
集合は直線l全体の集合となる.
1); 2) より一次関数y = ax + b は直線を表すことが示された.
ついに難題シリーズ（？）50問に到達いたしました。
50問を記念して今回は変な(?)問題を1問。
一次関数 y=ax+b がなぜ直線になるかを説明しなさい。
コメント：この問題、再度出題されたら答えに窮する人が大半だと思います・・・。
とにかく曲者ですのでぜひチャレンジしてみては？
難題49の答え
61/3√3
2辺の長さが5および6であり, それらのはさむ角が
30度であるような三角形がある.
これに外接する三角形のうち,
面積が最大となるものの面積を求めなさい.
コメント：三角形に外接する三角形とは珍問ですね・・・。
難題48の答え
a が自然数ならば1, a が自然数でないならば0
xを超えない最大の整数を [x] で表す.
a≧1のとき, 数列
([a]^n)/([a^n])
の極限値を求めなさい.
コメント：初見だとガウス記号入りの極限は難しいかもしれません・・・。
難題47の答え
2
半径1の円O内に点Aをとり, Aを通る弦PQを考える.
AとPとQが動くとき,
(1/PA) + (1/QA)
の最小値を求めなさい.
コメント；問題自体はシンプルですが、解いてみると梃子摺るかも・・・。
難題46の答え
-2or-1or0
