難題94

分野：数IIIC
レベル：難
コメント：微分方程式を使います。

1つの直線上を同一方向に動いている2点P, Qがある.
先行の点Pの速度は定数k (k＞0)に等しいとし,
また後続の点Qの時刻tにおける速度は,
その時刻におけるP, Q間の距離f(t)のλ倍(λ＞0）に
等しいとする.

このとき, Qは決してPに追いつかないことを示しなさい.






















難題93の答え

まず求めるのは
Σ[k=0, n] a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + … +a_{2n}

題意より、
(1+x+x^2)^n=a_0 + a_1x + a_2x^2 +…+ a_{2n}x^{2n}
である
この式にx=1を代入すると
(1+1+1)^n=a_0 + a_1 + a_2 +…+ a_{2n}

またx=-1を代入すると
(1-1+1)^n=a_0 - a_1 + a_2 -…+ a_{2n}

この2式の両辺を加えると、a_{2k-1}が消えるので
3^n+1 = 2[a_0 + a_2 + a_4 + … +a_{2n}]

よって、a_0 + a_2 + a_4 + … +a_{2n}=0.5(1+3^n)

難題93

分野：数IAIIB
レベル：やや難
コメント：面白い問題です

(1+x+x2)^n の展開式におけるx^kの係数をa_kとするとき,
Σ[k=0, n] a_{2k} = 0.5(1+3^n)
であることを示しなさい




















難題92の答え

直線ｍの方程式をｙ=ｐｘ+ｑ（ただし、ｑ≠0）、1次変換ｆを表す行列を
（ａ、ｂ）
（ｃ、ｄ）
とおく。

ｆによる任意の点（ｔ、ｐｔ＋ｑ）の像を点（ｓ、ｐｓ+ｑ）とすると、
ｓ=（ａ+ｂｐ）ｔ+ｂｑ・・・?
ｐｓ+ｑ=（ｃ+ｄｐ）ｔ+ｄｑ・・・?
となることから?を?に代入して、
ｐ（ａ+ｂｐ）ｔ+ｂｐｑ+ｑ=（ｃ+ｄｐ）ｔ+ｄｑ

ここで、ｔは任意ですから、これはｔについての恒等式です。
したがって、
ｃ=ｐａ+ｂｐ＾2-ｄｐ
ｄｑ=ｂｐｑ+ｑ
となる。

ここで、ｑ≠0であることから、
ｄ=ｂｐ+1、ｃ=ａｐ-ｐ・・・?

また、点Ｐ（ｔ、ｐｔ+ｑ）の像が点Ｐ自身であるとすると、
ｔ=（ａ+ｂｐ）ｔ+ｂｑ
∴ａ+ｂｐ=1、ｂｑ=0

したがって、ａ=1、ｂ=0
これらを?に代入して、ｃ=0、ｄ=1となり、ｆを表す行列は単位行列となる。
よってf(P)=Pとなるような原点と異なる点Pがあることがわかる。

難題92

分野：数IIIC
レベル：やや難

座標平面上の1次変換fが原点を通らないある直線mを
m自身に移しているならば, f(P)=Pとなるような原点と異なる点P
があることを示しなさい.

コメント：東大の一次変換(1982年)に繋がる問題です。
この問題を解いたことがあれば、1982年の東大の一次変換も解けた
のではないかと予想されます。



















難題91の答え

u=v=w=0 ではない値の組(u､v､w)があるとする｡
すなわち u､v､w が同時には 0 ではない値の組があるとすると､そのうち u≠0 として一般性を失わないから､
vec(OA) = -(v/u)vec(OB) - (w/u)vec(OC)
つまり､ ベクトルOA は ベクトルOB と ベクトルOC の作る平面の上になければならない｡
従って、原点O は三角形の決定する平面上にあることになり､前提条件と矛盾する。
よって u=v=w=0 でなければならない｡

難題91（ゆぅじじさんから・・・）

分野：数IAIIB
レベル：標準

空間に3角形ABCがあるとし, 空間の原点Oは,
この三角形が決定する平面上にはないとする.

実数 u, v, w が等式
u×vec(OA) + v×vec(OB) + w×vec(OC) = vec(0)
を満たすならば, u=v=w=0であることを示しなさい.

コメント：当たり前の中に盲点があります。（京都大学／1984年）


























難題90の答え

f(x) = x + (1／x) （x≧1）

y = f(x) とおくと、

y = x + (1／x)
- x + y = 1／x
- x^2 + y x = 1
x^2 - y x = - 1
x^2 - 2 (y／2) x + (y／2)^2 = (y／2)^2 - 1
(x - y／2)^2 = (y／2)^2 - 1
x≧1 より x - y／2≧0 だから、
（∵x - y／2 = x - (x + (1／x))／2 = (x^2 - 1)／(2x)）
x - y／2 = √((y／2)^2 - 1)
x = y／2 + √((y／2)^2 - 1)
x = (y + √(y^2 - 4))／2
y = f(x) とおいたのだから、g(y) = g(f(x))) = x なので、
g(y) = (y + √(y^2 - 4))／2
したがって、関数 g は
g(x) = (x + √(x^2 - 4))／2
と定義できる。

難題90

分野：数IIIC
レベル：やや易

x≧1で定義された関数f(x)=x+(1/x)の逆関数 g(x) を求めなさい.



















難題89の答え

f(x)=x∫[0→x]{2^t*(2^t-3)}dt-∫[0→x]{t*2^t*(2^t-3)}dt
f'(x)=∫[0→x]{2^t*(2^t-3)}dt+x*(2^x)*(2^x-3)-x*(2^x)*(2^x-3)
=∫[0→x]{2^t*(2^t-3)}dt
=∫[0→x](2^2t-3*2^t)dt
=[(1/2log2)*2^2t-(3/log2)*2^t][0→x]
=(1/2log2)*2^2x-(3/log2)*2^x+5/2log2
=(1/2log2)*(2^2x-6*2^x+5)
=(1/2log2)*(2^x-5)(2^x-1)
f'(x)=0のとき,2^x=1,5,すなわち,x=0,log[2]5
x≧0におけるf(x)の増減表は,次のようになる.


__x__|__0__|__|log[2]5|__
f'(x)|__0__|−|___0___|＋
f(x)_|_____|\|_______|／


よって,x=log[2]5のとき最小となる.

難題89

分野：数IIIC
レベル：標準

x≧0のとき, xの関数
f(x)=∫[0, x] 2^t(2^t-3)(x-t) dt
の最小値を与えるxの値を求めなさい.

コメント：計算が少々厄介です。




















難題88の答え

このゲームの条件で持ち点10点から、ちょうど9回でゲームが終了するのは、
8回目までに3回勝ち、5回負けていて、９回目に負けて持ち点が1になる場合です。
（例えば、○○○××××××）
これだけなら分母は2^9=512、分子は(8*7*6)/(3*2*1)=56となります。
（9回目は必ず負けなので、8回中3回勝つ組み合わせを求める)
ただし、この中に7,8回目に勝つ組み合わせが6通りあり、
その場合は6回目までに1点になってしまいます。
従ってそれを除いて(56-6)/512=25/256となります。

難題88

分野：数IAIIB
レベル：標準

ある人が機械を相手に勝ちと負けの確率がどちらも1/2のゲームを行う.
その人のはじめの持ち点を10点とし,
勝てば1点を得, 負ければ2点を失う.
この人の持ち点が0または1になるとゲームは終了する.
このとき, ちょうど9回でゲームが終了する確率を求めなさい.

コメント：いわゆる「破産の問題」です。




















難題87の答え

問いの式を変形すると、
y = 1/(x^2 + 1)より
dy/dx = (-2x)/(x^2 + 1)^2

ここで、y = -2a/(a^2 + a)^2 (x - a) + 1/(a^2 + 1) = 0
となることからx = (3a^2 + 1) / 2a
∴dx/da = (3a^2 - 1)/(2a^2)
a = ±√(3)/3
ｘ = √(3)

難題87

分野：数IIIC
レベル：標準

曲線 y=1/(x^2+1) の接線がx軸と交わるとき, その交点をPとする.
原点とPとの距離の最小値を求めなさい.

コメント：この関数は至る所で顔を出します。
　　　　　∫[-∞,∞] dx/(x^2+1) =π



















難題86の答え

k = (1/x) + (1/y) = (1/(3-4y) + (1/y)
とおいて上式をyについて整理して、
4ky^2 - 3(k+1)y+ 3 = 0
を得る。
このyに関する2次方程式が
0＜y＜4/3の範囲で少なくとも１つの実数解を持つ条件を求めれば k≧3 となる。
よって、(1/x)+(1/y) の最小値は 3
このとき
12y^2-12y+3 = 0
より y = 1/2, x=1 を得る。

難題86

分野：数IAIIB
レベル：標準

x+4y=3 を満たす正の数x, yに対して,
(1/x)+(1/y)を最小にする x, yの値および最小値を求めなさい






















難題85の答え

ある時刻の時の点PをP1、５秒後の点PをP2とする。
P1の時とP2の時でAP＋PBの長さは等しいので、
△ABP1≡△BAP2 と考えることができる。
つまり、ABの中点に垂線をひき、その垂線とｍとの交点を考えると、交点からP1、P2までの距離は5/2メートルで等しい状態になる。
ここからはP1の時だけ（点Pとします）を考えることにする。
点Pから線分ABに垂線を引き、その足をCとする。またその時、AP＝x、BP=ｙ、PC=hと決めます。（AC=5/2,BC=15/2）
三平方の定理を△ACPに使い、x^2=25/4+h^2・・・?
△BCPでも同様に、y^2=225/4+h^2・・・?
仮定より x+y=15・・・?
?−? で y^2-x^2=200/4
左辺を因数分解して (y+x)(y-x)=50
ここに?を代入して 15(y-x)=50
両辺を15でわって y-x=50/15 (=10/3)・・・?
?と?を連立方程式として解く(?+?)と、2y=55/3
両辺を２でわって、y=55/6
このyの値を?に代入すると、3025/36=225/4+h^2
通分して計算すると h^2=1000/36 (=250/9)
h>0 より h=5√10/3

難題85

分野：数IIIC
レベル：標準

直線l上に10メートル離れた2定点A, Bがあり,
lに平行な直線m上を点Pが秒速1メートルで
一定の向きに動いている.
A, P間の距離とB, P間の距離の和は,
ある時刻に測ったとき15メートル,
その5秒後に測ったときも15メートルであった.
2直線l, mのあいだの距離は何メートルか.

コメント：文系受験生用の出題問題です。（東京大学／1988年）






















難題84の答え

底が２のlogをとると、
log2_(a_1)=log2_(√2)=1/2

a_n =√（2a_[n-1]) より
log2_(a_n)=log2_(√（2a_[n-1]) )=(1/2)*log2_(2a_[n-1] )
=(1/2)*(1+log2_(a_[n-1] ))=1/2+(1/2)*(log2_(a_[n-1] ))

-------

log2_(a_n)=b_nとすると

b_1=1/2

b_n=1/2+(1/2)*(b_[n-1] )と表せる。。

b_n-1=(1/2)*(b_[n-1] -1)

よってb_n=1-1/2^n

log2_(a_n)=b_nより
log2_(a_n)=（1-1/2^n）

ｎ→∞
a_n=2

難題85

分野：数IIIC
レベル：標準

直線l上に10メートル離れた2定点A, Bがあり,
lに平行な直線m上を点Pが秒速1メートルで
一定の向きに動いている.
A, P間の距離とB, P間の距離の和は,
ある時刻に測ったとき15メートル,
その5秒後に測ったときも15メートルであった.
2直線l, mのあいだの距離は何メートルか.

コメント：文系受験生用の出題問題です。（東京大学／1988年）






















難題84の答え

底が２のlogをとると、
log2_(a_1)=log2_(√2)=1/2

a_n =√（2a_[n-1]) より
log2_(a_n)=log2_(√（2a_[n-1]) )=(1/2)*log2_(2a_[n-1] )
=(1/2)*(1+log2_(a_[n-1] ))=1/2+(1/2)*(log2_(a_[n-1] ))

-------

log2_(a_n)=b_nとすると

b_1=1/2

b_n=1/2+(1/2)*(b_[n-1] )と表せる。。

b_n-1=(1/2)*(b_[n-1] -1)

よってb_n=1-1/2^n

log2_(a_n)=b_nより
log2_(a_n)=（1-1/2^n）

ｎ→∞
a_n=2

難題84

分野：数IIIC
レベル：標準

数列｛a_n｝がa_1=√2,
a_n =√（2a_[n-1]) (n≧2)
で定義されるとき, 数列｛a_n｝の極限値を求めなさい.

コメント：深みにはまらないようにしましょう。





















難題83の答え

きれいな答えを出していただきましたので、
勝手に掲載・・・。。。（申し訳ありません。）

ac+bd=0から
a:d=b:(-c)なので、kを実数として
b=ak,c=-kdとおくことができる。
これとa^2+b^2=1,c^2+d^2=1より
a^2(1+k^2)=1
d^2(1+k^2)=1
となるので、a^2=d^2
よってa^2+c^2=d^2+c^2=1 , b^2+d^2=b^2+a^2=1
ab+cd=ka^2-kd^2=k(a^2-d^2)=0

難題83

分野：数IAIIB
レベル：標準

4つの実数a,b,c,dの間に,
a^2+b^2=1
c^2+d^2=1
ac+bd=0
の関係があるとき, a^2+c^2, b^2+d^2, ab+cdの
値をそれぞれ求めなさい.

コメント：高1でも解けますが、別解も豊富です。



















難題82の答え

x^4 + mx^3 + nx^2 + 18 = 0 が正の整数解x=αをもつとすると
α^4 + mα^3 + nα^2 + 18 = 0
すなわち α^2(α^2 +mα+n)=-2*3^2 …?

α^2＞0は整数であり、18の約数であるから
α^2 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
このうち平方数であるのは1, 9
α＞0から α=1, 3

α=1のとき ?から 1+m+n=-18 よって m+n=-19 …?
α=3のとき ?から 9+3m+n=-2 よって 3m+n=-11 …?

?, ?から m=4, n=-23

逆に m=4, n=-23のとき
x^4 +4x^3 -23x^2 +18=0
⇔(x-1)(x-3)(x^2 +8x+6)=0
⇔x=1, 3, -4±√10
となり、確かに相異なる2つの正の整数解をもつ。

したがって
m=-4, n=23, 求める解はx=1, 3, -4±√10 …(答)

整数問題では(因数分解した式)=(素因数分解で表された整数)の形に持ち込むのが定石です。
m, nの値が求まったら元の式に代入して十分性の吟味、すなわちきちんと正の整数解をもつことを確認しましょう。

難題82

分野：数IAIIB
レベル：標準

整数係数の4次方程式 x^4 + mx^3 + nx^2 + 18 = 0 が相異なる2個の正の整数解を持
つとき, m, n を定め, この方程式の解を求めなさい.

コメント：面白い問題です。


















難題81の答え

点P（ｔ、ｔ²−2）とおく。円の中心は原点Oであるから、OQ⊥PQ
よって、
PQ²＝OP²−OQ²
＝ｔ²＋（ｔ²−2）²−1
＝ｔ^4−3ｔ²＋3
＝｛ｔ²−（3/2）｝²＋（3/4）
ｔ²≧0より、ｔ²＝3/2のとき、PQ²は最小値3/4をとる。
PQ＞0より、このときPQも最小となるから、
最小値は、（√3）/2

難題81

分野：数IA
レベル：易

2次曲線 y=x^2-2 上の点Pから円x^2+y^2=1に接線を引き,
その接点をQとする. このとき, 線分PQの長さの最小値を
求めなさい.

コメント：難問ばかりでは肩がこりますね。




















難題80の答え

x＝ｆ（θ）、ｙ＝ｇ（θ）とすると、ｆ（−θ）＝x、ｇ（−θ）＝−ｙ
よって、（ｘ、−ｙ）もこの曲線上の点なので、曲線はx軸に関して対称である。
そこで、0≦θ≦πの範囲で考える。
0≦θ≦2π/3に対応するｙを、y[1]とし、2π/3≦θ≦πに対応するｙをy[2]とする。
ｙ＝ｙ[1]のときは、−a/4≦x≦2aに、2π/3≦θ≦0が対応する。
ｙ＝y[2]のときは、−a/4≦x≦0に、2π/3≦θ≦πが対応する。
求める体積をVとおくと、ｙ[1]は回転体の外側、y[2]は回転体の内側であるから、
V＝π｛∫[-a/4→2a]（y[1]）²dx−∫[-a/4→0]（y[2]）²dx｝
＝π｛∫[2π/3→0]ｙ²（dx/dθ）dθ−∫[2π/3→π]ｙ²（dx/dθ）dθ｝
＝−π∫[0→π]ｙ²（dx/dθ）dθ・・・?
ここで、dx/dθ＝−a（1＋2ｃｏｓθ）ｓｉｎθとｙ＝a（1＋ｃｏｓθ）ｓｉｎθより、?は
V＝−π∫[0→π]｛a²（1＋ｃｏｓθ）²sin²θ｝・｛−a（1＋2ｃｏｓθ）ｓｉｎθ｝dθ
＝πa³∫[0→π]（cos²θ−1）（1＋ｃｏｓθ）²（1＋2cosθ）（−ｓｉｎθ）dθ
ｃｏｓθ＝ｔとおく。dt＝−ｓｉｎθdθ、0≦θ≦πには1≧ｔ≧−1が対応。
V＝πa³∫[1→-1]（ｔ²−1）（1＋ｔ）²（1＋2ｔ）dt
＝πa³∫[-1→1]（1−ｔ²）（1＋ｔ）²（1＋2ｔ）dt
＝πa³∫[-1→1]（−2ｔ^5−5t^4−2ｔ³＋4ｔ²＋4ｔ＋1）dt
ここで、偶関数のときは、0→1を2倍した値、奇関数のときは値が0であるから、
V＝2πa³∫[0→1]（−5ｔ^4＋4ｔ²＋1）dt
＝2πa³[−ｔ^5＋（4/3）ｔ³＋ｔ]（0→1）
＝（8/3）πa³

難題80

分野：数IIIC
レベル：やや難

曲線
x=a(1+cosθ)cosθ
y=a(1+cosθ)sinθ
(a＞0, -π＜θ≦π)

をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めなさい.

コメント：計算が大変です。




















難題79の答え

f(x)-f(a)=(x^3-a^3)Q(x) Q(x)：多項式とかける。
ここで、x=ωaとすると、（ただしωは１の三乗根で、ω^3=1をみたすこととする。）
f(ωa)-f(a)=0となるが、ここで、x=ω^2aとすると、
f(ω^2a)-f(a)=0となる。
これより、f(a)+f(ωa)+f(ω^2a)=3f(a)が任意の実数に対して成り立つが
ここで、仮にf(a)=anx^n+・・・
とおけば、これはaに関する恒等式となり、３の倍数乗の項以外の係数が０であることがわかる。
ゆえに、f(a)=g(a^3)

こんな感じでいいんでしょうか。。。

難題79

分野：数IAIIB
レベル：難

xの多項式f(x)があり, 任意の実数aに対して,
f(x)-f(a)がつねにx^3-a^3で割り切れるとする.
このとき, ある多項式g(x)によって,
f(x)=g(x^3) と表せることを示しなさい.

コメント：∀（任意の）と∃（ある）はしっかり区別しましょう。（阪大81年）



















難題78の答え

A、B、Cについて、仮に0＜A≦B＜π/2としておくと、0＜tanA≦tanBとなる。

tanA＝tanB＝1のときはA＝B＝π/4となりC＝π/2
となるから、tanCが定義されない。よって不適。

tanA＝1、tanB＝2とすると、tanの加法定理により
tan（A+B)＝（1＋2）/（1−1・2）＝−3となり、
tanC＝tan｛π−（A＋B)｝＝−tan（A＋B）＝3となるから適する。

tanA＝tanB＝2のとき、tan（A+B)＝-4/3
よってtanC＝4/3となり整数ではないから不適。

tanA＝2、tanB＝3のとき、tan（A+B)＝（2＋3）/（1−2・3）＝−1となり
同様にtanC＝1となるから適する。

tanA＞2、tanB＞3の場合は、CがtanC＝1となるCより小
となり、tanC＞0であるから、tanCが整数になることはない。

単調増加になるよう、Bを鋭角で考えるが、Bが鈍角になれば
CはなおさらtanCの値の小さい角になるので、整数にならない。

以上から、tanA、tanB、tanCがすべて整数の場合、
1つは1、1つは2、1つは3である。
よって解答は（tanA,tanB,tanC＝（1,2,3）（順序は問わない）

という一橋大学84年物でした。

難題78

分野：数IAIIB
レベル：難

3角形ABCにおいて, tan A, tan B, tan Cの値がすべて整数であるとき,
それらの値を求めなさい.

コメント：美しい結果になりますね。辿り着くまで一苦労ですがｗ。




















難題77の答え

原点でない点P について,
→OP =→p とおくと, 条件より→Ap =→p
をみたすP が存在する. これを変形して,
(A-E)→p=→0
→p≠→0 より(A-E) は逆行列を持たないから,
(a-1)(d-1)-bc = 0・・・?
l:px+qy+r=0とおく(p,q,rは実数, 原点を通らないのでr≠0).
l上の点(x,y)がfによって(x',y') にうつるとき,
x'=ax+by,y'=cx+dy・・・?
直線l上の任意の点がfによってl自身にうつるならば,
px'+qy'+r=0・・・?
が成り立つ.?を?に代入すると,
(ap+cq)x+(bp+dq)y+r=0・・・?
?がl:px+qy+r=0と一致するとき, r≠0よりx,yの係数が一致するので,
ap+cq=pかつbp+dq=p
⇔行列（a-1 c)(b d-1)*行列（p q)=行列（0 0)・・・?
p = 0 かつq = 0 のときl は直線をなさないので,行列（p ｑ）≠行列（0 0)
この条件の下で?が成り立つとき,行列（a-1 c)(b d-1)は逆行列を持たない. よって、
(a-1)(d-1)-bc = 0・・・?
?と?は同値である. よって題意は証明された.

【コメント】
有名受験雑誌で「一次変換では最上級の難問」と評された東大の問題です。仮定と結論の同値
関係を突き詰めていけば筋道は比較的平坦ですが、試験会場でこれを思いつくでしょうかねぇ。
Aの固有値の一つが1 であることに着目する解法もありです。

英語について

ずいぶんと遅くなってしまいました、、、
忘れ去られている（と思われる）勉強法講座の時間です、ｗ
第2回目は英語です。

英語は細かく分けると、試験では、
?聞き取る力（ﾘｽﾆﾝｸﾞ）
?書く力（ﾗｲﾃｨﾝｸﾞ）
?読み取る力（ﾘｰﾃﾞｨﾝｸﾞ）
にわかれてくると思います。
そこで細かく分割して説明したいと思います。

?聞き取る力
まずはじめに聞き取る力ですが、何といっても
聞くしかありません。
ほかの誰に言われようが聞いて聞いて聞きまくる！
そのためにお勧めなのが、ラジオの英会話講座です。
少し簡単かもしれませんが、とにかく聞いて聞いて聞ききまくるには、
もってこいの最高の教材です。（しかも無料！！）
ここでこのラジオの有効活用の仕方ですが、
聞いたことを、瞬時に真似していってみましょう。
もちろん、この時点で9割がた何と言っているか分かり、さらに言えたら聞き取る力は十分です。
ひとまずやる必要はありませんｗ。その時間は他に回しましょう。
聞き取る力を育てるには、結局のところ、聞くしかないのです。
そしてこの力は、話す力へと当然のことながらつながっていくのです。

?書く力
次に書く力ですが、これには当然のことながら、文法力が入ってきます。
しかしながら文法がいくら分かっていても、単語の語彙数が少なくては、
読める文章も匙を投げることになってしまいます。
そこで、この2つを同時に高める方法として、有効なのが
（１）入試の過去問の長文を、文ごとに分けて、和訳。（和訳ソフトを使っては意味がありません。）
（２）さらに、その文ごとに出てくる文法、単語の意味をノートに書く。
ということです。
もっと高度なことを望む方ならば、英字新聞を同じ方法でやることも有効になってきます。
ただし、市街地、過疎地ですと購入が困難かもしれませんので、過去問をお勧めします。
これをすることによって、語彙力がさらにアップし、同時に文法力もアップします。
よってこの方法が1番ベストな方法と私は考えます。

?読み取る力
最後に読み取る力です。何といってもこの中では1番重要な力で、
テストなどで高得点を取るためには絶対に必要な力です。
まず第一に、長文問題を解くときに問題文を日本語に訳す必要はありません。
できるだけ英語のまま全体の意味を把握できるようにしましょう。
英語→日本語→イメージではあまりに時間がかかりすぎ、全体の意味を把握するのも難しくなります。 さらに全体の意味を把握するときにあまり細かいことにこだわらず、1つや2つわからない単語があっても気にしないようにします。
その単語が全体の流れとはまったく関係ないものかもしれませんし、逆に重要な位置を占めるものなら前後の脈絡から判断できることも多くあります。
そして、これらのことを注意した上で、最高水準特進問題集英語長文を解くことをお勧めします。
http://store.shopping.yahoo.co.jp/7andy/31939036.html
↑のページに出ているようなものです。
これによって、テストで高得点は間違いなしです。

6月5日改訂
6月6日改訂

気分一新

なんだか気分を一新したくて背景を変えてみました。
なんか変なんですけどね。。。
数学っていう感じがしないとｲｳｶなんとｲｳｶｗｗｗ
皆さんのお勧めの（お気に入りの？）背景なんて言うのはありますかねぇ。。。
意外とこの背景はあり？ｗ

難題77

分野：数IIIC
レベル：難

2×2の正方行列Aによって定まるxy平面の一次変換をfとする.
原点以外のある点PがfによってP自身にうつされるならば,
原点を通らない直線mであって, mのどの点もfによってmの
点にうつされるようなものが存在することを証明せよ.

コメント：「一次変換では最上級の難問」と言われる有名問題です。
　　　　　（因みにこの問題は、東京大学82年のものです。）



















難題76の答え

x, yは |x-1|+|y-1|≦1上で、
場合分けは４個あるが、下の最小値であるから、原点に近いところから、検討する。
ここでz = 2(x^2+y^2)と置くと、
x < 1,y < 1で
1-x+1-y≦ 1
∴-x-y≦-1
　x+y≧ 1
　y≧1-x
ここで、y=xが上に垂直であることから、
x=1-x
x=y=1/2
z=1

難題76

分野：数IAIIB
レベル：やや易

x, yは |x-1|+|y-1|≦1をみたす実数であるとき,
2(x^2+y^2)
の最小値を求めなさい.

コメント：図形を使いましょう。


















難題75の答え

どの2角でも良いですがA＝Bとすると、
C＝π−2Aとなる。C＞0より、0＜A＜π/2

和積公式より、
F＝2｛sin（3A＋3B）/2｝｛cos（3A−3B）/2｝＋sin3C
ここでA=Bより、cos3（A-B）＝1
F＝2sin3A＋sin3（π−2A）
＝2sin3A＋sin｛2π＋（π-6A）｝＝2sin3A＋sin（π−6A）
＝2sin3A＋sin6A＝2sin3A＋2sin3Acos3A
＝2sin3A（1＋cos3A）

ここで、3A＝ｔとおくと、0＜A＜π/2より、0＜ｔ＜3π/2
F＝2sinｔ（1＋cosｔ）
F’＝2cosｔ（1＋cosｔ）＋2sinｔ（−sinｔ）
＝・・＝2（cosｔ＋1）（2cosｔ−1）

0＜ｔ＜3π/2で増減を調べると、
ｔ＝π/3で、Fは極大かつ最大、F＝（3√3）/2
ｔ＝0でF＝0、ｔ＝3π/2でF＝−2
0＜ｔ＜π/3でF’＞0なので増加し、
π/3＜ｔ＜3π/2でF’≦0なので減少する。

よって、−2＜F≦（3√3）/2

難題75

分野：数IIIC
レベル：標準

A, B, Cを2等辺三角形の内角とし,
F= (sin 3A) + (sin 3B) + (sin 3C)
とおく. Fのとる値の範囲を求めなさい.

コメント：本問の前に「Fの最大値を求めよ」の小問がありました




















難題74の答え

√2(cosθ-sinθ)を二乗。
2(1-sinθcosθ)
＝2-2sinθcosθ
＝2-sin2θ
∴sin2θ＝-1のとき最大(θ＝3π/4)
　sin2θ＝1のとき最小(θ＝π/4)
となることから、代入して
√2(-2/√2)＝-2
√2(2/√2)＝2

∴最大値2最小値-2

難題番外編

ブロ主の悩みの種となっている問題です。。。
この問題に関してはどしどし公開コメで回答お待ちしております。。。

規則性？の難題。

?6ｎ+6
?12ｎ^2+24ｎ+14
?20ｎ^3+60ｎ^2+70ｎ+30
という多項式がある時、
（１）?に来ると推測される4次の多項式を、ｎを用いて表せ。
（２）ｎ番目に来ると推測される多項式を、ｎをつかって表せ。

どうもうまい一般項が出てこないのですが。。。。
3人寄れば文殊の知恵と申しますし、、、
何かいい方法はないものですかねぇ。。。
コメお待ちしております