難題94

分野：数IIIC
レベル：難
コメント：微分方程式を使います。

1つの直線上を同一方向に動いている2点P, Qがある.
先行の点Pの速度は定数k (k＞0)に等しいとし,
また後続の点Qの時刻tにおける速度は,
その時刻におけるP, Q間の距離f(t)のλ倍(λ＞0）に
等しいとする.

このとき, Qは決してPに追いつかないことを示しなさい.






















難題93の答え

まず求めるのは
Σ[k=0, n] a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + … +a_{2n}

題意より、
(1+x+x^2)^n=a_0 + a_1x + a_2x^2 +…+ a_{2n}x^{2n}
である
この式にx=1を代入すると
(1+1+1)^n=a_0 + a_1 + a_2 +…+ a_{2n}

またx=-1を代入すると
(1-1+1)^n=a_0 - a_1 + a_2 -…+ a_{2n}

この2式の両辺を加えると、a_{2k-1}が消えるので
3^n+1 = 2[a_0 + a_2 + a_4 + … +a_{2n}]

よって、a_0 + a_2 + a_4 + … +a_{2n}=0.5(1+3^n)