難題93

分野：数IAIIB
レベル：やや難
コメント：面白い問題です

(1+x+x2)^n の展開式におけるx^kの係数をa_kとするとき,
Σ[k=0, n] a_{2k} = 0.5(1+3^n)
であることを示しなさい




















難題92の答え

直線ｍの方程式をｙ=ｐｘ+ｑ（ただし、ｑ≠0）、1次変換ｆを表す行列を
（ａ、ｂ）
（ｃ、ｄ）
とおく。

ｆによる任意の点（ｔ、ｐｔ＋ｑ）の像を点（ｓ、ｐｓ+ｑ）とすると、
ｓ=（ａ+ｂｐ）ｔ+ｂｑ・・・?
ｐｓ+ｑ=（ｃ+ｄｐ）ｔ+ｄｑ・・・?
となることから?を?に代入して、
ｐ（ａ+ｂｐ）ｔ+ｂｐｑ+ｑ=（ｃ+ｄｐ）ｔ+ｄｑ

ここで、ｔは任意ですから、これはｔについての恒等式です。
したがって、
ｃ=ｐａ+ｂｐ＾2-ｄｐ
ｄｑ=ｂｐｑ+ｑ
となる。

ここで、ｑ≠0であることから、
ｄ=ｂｐ+1、ｃ=ａｐ-ｐ・・・?

また、点Ｐ（ｔ、ｐｔ+ｑ）の像が点Ｐ自身であるとすると、
ｔ=（ａ+ｂｐ）ｔ+ｂｑ
∴ａ+ｂｐ=1、ｂｑ=0

したがって、ａ=1、ｂ=0
これらを?に代入して、ｃ=0、ｄ=1となり、ｆを表す行列は単位行列となる。
よってf(P)=Pとなるような原点と異なる点Pがあることがわかる。