難題91（ゆぅじじさんから・・・）

分野：数IAIIB
レベル：標準

空間に3角形ABCがあるとし, 空間の原点Oは,
この三角形が決定する平面上にはないとする.

実数 u, v, w が等式
u×vec(OA) + v×vec(OB) + w×vec(OC) = vec(0)
を満たすならば, u=v=w=0であることを示しなさい.

コメント：当たり前の中に盲点があります。（京都大学／1984年）


























難題90の答え

f(x) = x + (1／x) （x≧1）

y = f(x) とおくと、

y = x + (1／x)
- x + y = 1／x
- x^2 + y x = 1
x^2 - y x = - 1
x^2 - 2 (y／2) x + (y／2)^2 = (y／2)^2 - 1
(x - y／2)^2 = (y／2)^2 - 1
x≧1 より x - y／2≧0 だから、
（∵x - y／2 = x - (x + (1／x))／2 = (x^2 - 1)／(2x)）
x - y／2 = √((y／2)^2 - 1)
x = y／2 + √((y／2)^2 - 1)
x = (y + √(y^2 - 4))／2
y = f(x) とおいたのだから、g(y) = g(f(x))) = x なので、
g(y) = (y + √(y^2 - 4))／2
したがって、関数 g は
g(x) = (x + √(x^2 - 4))／2
と定義できる。