難題90

分野：数IIIC
レベル：やや易

x≧1で定義された関数f(x)=x+(1/x)の逆関数 g(x) を求めなさい.



















難題89の答え

f(x)=x∫[0→x]{2^t*(2^t-3)}dt-∫[0→x]{t*2^t*(2^t-3)}dt
f'(x)=∫[0→x]{2^t*(2^t-3)}dt+x*(2^x)*(2^x-3)-x*(2^x)*(2^x-3)
=∫[0→x]{2^t*(2^t-3)}dt
=∫[0→x](2^2t-3*2^t)dt
=[(1/2log2)*2^2t-(3/log2)*2^t][0→x]
=(1/2log2)*2^2x-(3/log2)*2^x+5/2log2
=(1/2log2)*(2^2x-6*2^x+5)
=(1/2log2)*(2^x-5)(2^x-1)
f'(x)=0のとき,2^x=1,5,すなわち,x=0,log[2]5
x≧0におけるf(x)の増減表は,次のようになる.


__x__|__0__|__|log[2]5|__
f'(x)|__0__|−|___0___|＋
f(x)_|_____|\|_______|／


よって,x=log[2]5のとき最小となる.