分野：数IIIC
レベル：標準
x≧0のとき, xの関数
f(x)=∫[0, x] 2^t(2^t-3)(x-t) dt
の最小値を与えるxの値を求めなさい.
コメント：計算が少々厄介です。
難題88の答え
このゲームの条件で持ち点10点から、ちょうど9回でゲームが終了するのは、
8回目までに3回勝ち、5回負けていて、９回目に負けて持ち点が1になる場合です。
（例えば、○○○××××××）
これだけなら分母は2^9=512、分子は(8*7*6)/(3*2*1)=56となります。
（9回目は必ず負けなので、8回中3回勝つ組み合わせを求める)
ただし、この中に7,8回目に勝つ組み合わせが6通りあり、
その場合は6回目までに1点になってしまいます。
従ってそれを除いて(56-6)/512=25/256となります。
分野：数IAIIB
レベル：標準
ある人が機械を相手に勝ちと負けの確率がどちらも1/2のゲームを行う.
その人のはじめの持ち点を10点とし,
勝てば1点を得, 負ければ2点を失う.
この人の持ち点が0または1になるとゲームは終了する.
このとき, ちょうど9回でゲームが終了する確率を求めなさい.
コメント：いわゆる「破産の問題」です。
難題87の答え
問いの式を変形すると、
y = 1/(x^2 + 1)より
dy/dx = (-2x)/(x^2 + 1)^2
ここで、y = -2a/(a^2 + a)^2 (x - a) + 1/(a^2 + 1) = 0
となることからx = (3a^2 + 1) / 2a
∴dx/da = (3a^2 - 1)/(2a^2)
a = ±√(3)/3
ｘ = √(3)
分野：数IIIC
レベル：標準
曲線 y=1/(x^2+1) の接線がx軸と交わるとき, その交点をPとする.
原点とPとの距離の最小値を求めなさい.
コメント：この関数は至る所で顔を出します。
∫[-∞,∞] dx/(x^2+1) =π
難題86の答え
k = (1/x) + (1/y) = (1/(3-4y) + (1/y)
とおいて上式をyについて整理して、
4ky^2 - 3(k+1)y+ 3 = 0
を得る。
このyに関する2次方程式が
0＜y＜4/3の範囲で少なくとも１つの実数解を持つ条件を求めれば k≧3 となる。
よって、(1/x)+(1/y) の最小値は 3
このとき
12y^2-12y+3 = 0
より y = 1/2, x=1 を得る。
分野：数IAIIB
レベル：標準
x+4y=3 を満たす正の数x, yに対して,
(1/x)+(1/y)を最小にする x, yの値および最小値を求めなさい
難題85の答え
ある時刻の時の点PをP1、５秒後の点PをP2とする。
P1の時とP2の時でAP＋PBの長さは等しいので、
△ABP1≡△BAP2 と考えることができる。
つまり、ABの中点に垂線をひき、その垂線とｍとの交点を考えると、交点からP1、P2までの距離は5/2メートルで等しい状態になる。
ここからはP1の時だけ（点Pとします）を考えることにする。
点Pから線分ABに垂線を引き、その足をCとする。またその時、AP＝x、BP=ｙ、PC=hと決めます。（AC=5/2,BC=15/2）
三平方の定理を△ACPに使い、x^2=25/4+h^2・・・?
△BCPでも同様に、y^2=225/4+h^2・・・?
仮定より x+y=15・・・?
?−? で y^2-x^2=200/4
左辺を因数分解して (y+x)(y-x)=50
ここに?を代入して 15(y-x)=50
両辺を15でわって y-x=50/15 (=10/3)・・・?
?と?を連立方程式として解く(?+?)と、2y=55/3
両辺を２でわって、y=55/6
このyの値を?に代入すると、3025/36=225/4+h^2
通分して計算すると h^2=1000/36 (=250/9)
h>0 より h=5√10/3
分野：数IIIC
レベル：標準
直線l上に10メートル離れた2定点A, Bがあり,
lに平行な直線m上を点Pが秒速1メートルで
一定の向きに動いている.
A, P間の距離とB, P間の距離の和は,
ある時刻に測ったとき15メートル,
その5秒後に測ったときも15メートルであった.
2直線l, mのあいだの距離は何メートルか.
コメント：文系受験生用の出題問題です。（東京大学／1988年）
難題84の答え
底が２のlogをとると、
log2_(a_1)=log2_(√2)=1/2
a_n =√（2a_[n-1]) より
log2_(a_n)=log2_(√（2a_[n-1]) )=(1/2)*log2_(2a_[n-1] )
=(1/2)*(1+log2_(a_[n-1] ))=1/2+(1/2)*(log2_(a_[n-1] ))
-------
log2_(a_n)=b_nとすると
b_1=1/2
b_n=1/2+(1/2)*(b_[n-1] )と表せる。。
b_n-1=(1/2)*(b_[n-1] -1)
よってb_n=1-1/2^n
log2_(a_n)=b_nより
log2_(a_n)=（1-1/2^n）
ｎ→∞
a_n=2
